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如何理解normed space里的元素
[版面:数学][首篇作者:freelikewind] , 2019年04月08日10:50:47 ,505次阅读,19次回复
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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  8 10:50:47 2019, 美东)

norm的三公理头一条:
||x||>=0, ||x||=0 only when x = 0.

现在看两个函数
f(x)=0, x in [0,1];
g(x)=0 on [0,a) and (a,1], but g(a)=1.

若考虑normed space L^1([0,1]),这两个函数的norm都是0.
这是否说normed space L^1([0,1])是不区分f()和g()的,把它们都视为空间中的零元
素呢?
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  8 13:18:44 2019, 美东)

对啊。

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: norm的三公理头一条:
: ||x||>=0, ||x||=0 only when x = 0.
: 现在看两个函数
: f(x)=0, x in [0,1];
: g(x)=0 on [0,a) and (a,1], but g(a)=1.
: 若考虑normed space L^1([0,1]),这两个函数的norm都是0.
: 这是否说normed space L^1([0,1])是不区分f()和g()的,把它们都视为空间中的零元
: 素呢?




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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  8 22:15:57 2019, 美东)

L^1里面的函数严格来说不是函数,是等价类

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: norm的三公理头一条:
: ||x||>=0, ||x||=0 only when x = 0.
: 现在看两个函数
: f(x)=0, x in [0,1];
: g(x)=0 on [0,a) and (a,1], but g(a)=1.
: 若考虑normed space L^1([0,1]),这两个函数的norm都是0.
: 这是否说normed space L^1([0,1])是不区分f()和g()的,把它们都视为空间中的零元
: 素呢?




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  8 22:52:05 2019, 美东)

嗯。是这样。

【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: L^1里面的函数严格来说不是函数,是等价类




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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Apr  8 23:13:25 2019, 美东)

是的 L^p都是
我不太明白的是上面的f g都算零元
那研究逐点问题时按哪个算?

【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: L^1里面的函数严格来说不是函数,是等价类




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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 11:24:43 2019, 美东)

almost everywhere. 你这是没学过实分析吧?

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 是的 L^p都是
: 我不太明白的是上面的f g都算零元
: 那研究逐点问题时按哪个算?





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※ 修改:·nonpareil 於 Apr  9 11:27:13 2019 修改本文·[FROM: 130.]
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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 13:46:42 2019, 美东)

当然学过了
最近看个论文 有个问题:
有函数列fn 在[0,1]上有fn->0 逐点收敛
如果设在a点的evaluatiin functional为delta
因为f 和g都是0
那delta对于f来说连续 对于g就不连续了


【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: almost everywhere. 你这是没学过实分析吧?




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:00:58 2019, 美东)

f为delta定义域中的一个点,怎么叫 “delta对于f来说连续 对于g就不连续了”?

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 当然学过了
: 最近看个论文 有个问题:
: 有函数列fn 在[0,1]上有fn->0 逐点收敛
: 如果设在a点的evaluatiin functional为delta
: 因为f 和g都是0
: 那delta对于f来说连续 对于g就不连续了




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:14:55 2019, 美东)


另外,evaluation functional就不能用L1拓扑了,不是well defined。缩小定义域到
连续函数可以。

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 当然学过了
: 最近看个论文 有个问题:
: 有函数列fn 在[0,1]上有fn->0 逐点收敛
: 如果设在a点的evaluatiin functional为delta
: 因为f 和g都是0
: 那delta对于f来说连续 对于g就不连续了





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※ 修改:·TheMatrix 於 Apr  9 15:17:59 2019 修改本文·[FROM: 2607:fb90:a226:b]
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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:15:00 2019, 美东)

你好好想想
fn逐点收敛到f
但只有一个点不收敛到g
delta的定义域里面的临域是范数诱导的
所以在delta定义域里 fn收敛到f 同时也是g
但delta在f和g的值分别是0
和1

现在可以明白了吗

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: f为delta定义域中的一个点,怎么叫 “delta对于f来说连续 对于g就不连续了”?




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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:18:05 2019, 美东)

这个是我想要的回答

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 另外,evaluation functional就不能用L1拓扑了,不是well defined。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:27:36 2019, 美东)

我明白你的意思,说法上不太准确。

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 你好好想想
: fn逐点收敛到f
: 但只有一个点不收敛到g
: delta的定义域里面的临域是范数诱导的
: 所以在delta定义域里 fn收敛到f 同时也是g
: 但delta在f和g的值分别是0
: 和1
: 现在可以明白了吗




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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:31:44 2019, 美东)

刚才回去看看原文
确实用的是space of polynomials over  [0, 1]
norm用的是L^p
我看的时候想当然当它说的是L^p[0,1]了

多谢回答

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我明白你的意思,说法上不太准确。




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:36:13 2019, 美东)

没事。谢谢你。最近有点题荒,缺乏难度适度的好问题。 :)

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 刚才回去看看原文
: 确实用的是space of polynomials over  [0, 1]
: norm用的是L^p
: 我看的时候想当然当它说的是L^p[0,1]了
: 多谢回答




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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:40:39 2019, 美东)

一般来说,Norm决定一切啊。多项式是L^p[0,1]的稠密集。

【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: 刚才回去看看原文
: 确实用的是space of polynomials over  [0, 1]
: norm用的是L^p
: 我看的时候想当然当它说的是L^p[0,1]了
: 多谢回答




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 15:57:55 2019, 美东)

norm决定拓扑。还有什么?

【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: 一般来说,Norm决定一切啊。多项式是L^p[0,1]的稠密集。




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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr  9 16:48:12 2019, 美东)

拓扑是一切啊

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: norm决定拓扑。还有什么?




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Apr 10 11:56:59 2019, 美东)

拓扑-连续。还能再说点啥吗?

【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: 拓扑是一切啊




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发信人: nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Apr 10 12:47:29 2019, 美东)

连续性和收敛性还不够么?分析的最基本问题啊。当然了,回到关于norm的问题,它的
重要性只要考虑一下L^1,L^2,L^p,和 L^infty 的区别就行了。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 拓扑-连续。还能再说点啥吗?




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 如何理解normed space里的元素
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Apr 11 11:39:05 2019, 美东)

L^p空间太大,要加很多限定才能得到有趣的结构。

【 在 nonpareil (一失足成千古恨,再回头已百年身) 的大作中提到: 】
: 连续性和收敛性还不够么?分析的最基本问题啊。当然了,回到关于norm的问题,它的
: 重要性只要考虑一下L^1,L^2,L^p,和 L^infty 的区别就行了。




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