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未名交友
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这里有人熟悉trigamma函数么?
[版面:数学][首篇作者:freelikewind] , 2018年08月24日23:35:36 ,233次阅读,1次回复
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freelikewind
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发信人: freelikewind (像风一样自由), 信区: Mathematics
标  题: 这里有人熟悉trigamma函数么?
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Aug 24 23:37:24 2018, 美东)

given t(.) is trigamma function,
a>0, b>0.

then is the below expression always positive?

t(a)t(b) - [t(a)+t(b)]t(a+b)

这个用python仿真验证了,是对的。但是不知道怎么证明,应该比较容易。

--
浪漫乃心之自由;自由乃乐之源泉。



※ 修改:·freelikewind 于 Aug 25 12:22:19 2018 修改本文·[FROM: 68.]
※ 来源:·BBS 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 68.]

 
dragon
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发信人: dragon (dragon), 信区: Mathematics
标  题: Re: 这里有人熟悉trigamma函数么?
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Oct 10 13:57:37 2018, 美东)

猜想f(x) = 1 / t(x)是concave function。

(f(a) + f(b) ) / 2 <  f((a+b)/2)

由t(2x) = 1/(p+2x)^2 = 1/(2x+2k+1)^2 + 1(2x+2k)^2 < 1/(2x+2k)^2 + 1/(2x+2k)^
2 = 1/2 (1/(x+k)^2) = 1/2 t(x)

所以
1/t(a) + 1/t(b) < 2 * 1/ t((a+b)/2) = 1/((t(a+b)/2)/2) < 1/t(a+b)
所以 t(a)t(b) - (t(a) + t(b))*t(a+b) > 0。

所以问题简化为,证明f(x) = 1/t(x)是concave。
等价于证明,f''(x) <0。


【 在 freelikewind (像风一样自由) 的大作中提到: 】
: given t(.) is trigamma function,
: a>0, b>0.
: then is the below expression always positive?
: t(a)t(b) - [t(a)+t(b)]t(a+b)
: 这个用python仿真验证了,是对的。但是不知道怎么证明,应该比较容易。


--
※ 来源:·WWW 未名空间站 网址:mitbbs.com 移动:在应用商店搜索未名空间·[FROM: 107.]

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