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有关“寿命”的数学期望
[版面:数学][首篇作者:didadida] , 2018年07月03日21:22:22 ,418次阅读,7次回复
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didadida
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发信人: didadida (滴滴嗒嗒), 信区: Mathematics
标  题: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Jul  3 21:22:22 2018, 美东)

如图
从duration analysis教材抠下来的

其中 小f函数是概率密度,大F是累计分布,


survivor 大S是1-F

倒数第三段那个长公式没问题
倒数第二段没问题
然后 it follows that

E(T)= ...


这中间连不上


请指教
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Jul  5 21:31:14 2018, 美东)

这个推理是有点问题。不仅最后一个 it follows 有问题,那个长公式也有问题:分部
积分的两项都是无穷,相减是有问题的。但结果是对的。严格推理的话可以这样:

E(T) = int u f(u) du, 这是定义。
int_0^infinity u f(u) du = lim int_0^a u f(u) du, a -> infinity,这是
improper integral的定义。
Limit之中的integral是proper definite integral,用分部积分法没有问题:= a F(a
) - int_0^a F(u) du. (1)
另外一边要证明它等于 int 1 - F(u) du = lim int_0^a 1 - F(u) du, a ->
infinity.
Limit之中的definite integral等于:a - int_0^a F(u) du. (2)
(1)(2)都有int_0^a F(u) du,他们相等。
要证明(1)(2)Limit相等,问题归结到 a - a F(a) ->0 as a -> infinity.
这个并不完全容易。最后归结到 E(T)的存在性,也就是定义中的integral的可积分性。


【 在 didadida (滴滴嗒嗒) 的大作中提到: 】
: 如图
: 从duration analysis教材抠下来的
: 其中 小f函数是概率密度,大F是累计分布,
: survivor 大S是1-F
: 倒数第三段那个长公式没问题
: 倒数第二段没问题
: 然后 it follows that
: E(T)= ...
: 这中间连不上
: 请指教



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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jul  6 10:35:57 2018, 美东)

最后这步不好:要证明
lim a - aF(a) = 0 as a -> infinity
我的思路本身就用到了结论。
这个证明画个图是很清楚的,各个量都能用图表示。我想给一个纯代数式的证明,还没
找到好的方法。
我再想想。



【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 这个推理是有点问题。不仅最后一个 it follows 有问题,那个长公式也有问题:分部
: 积分的两项都是无穷,相减是有问题的。但结果是对的。严格推理的话可以这样:
: E(T) = int u f(u) du, 这是定义。
: int_0^infinity u f(u) du = lim int_0^a u f(u) du, a -> infinity,这是
: improper integral的定义。
: Limit之中的integral是proper definite integral,用分部积分法没有问题:= a F
(a
: ) - int_0^a F(u) du. (1)
: 另外一边要证明它等于 int 1 - F(u) du = lim int_0^a 1 - F(u) du, a ->
: infinity.
: Limit之中的definite integral等于:a - int_0^a F(u) du. (2)
: ...................



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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jul  6 11:49:24 2018, 美东)

我先这样推,留一个弱点,我们再思考:

E(T) = int_0^infinity u f(u) du, 定义
       = lim int_0^a u f(u) du, a -> infinity,improper integral 定义
       = lim [ a F(a) - int_0^a F(u) du ], a -> infinity, 分部积分法
       = lim [ int_0^a ( F(a) - F(u) ) du ], a -> infinity
       = int_0^infinity ( 1 - F(u) ) du, infinity进入积分上限和积分表达式,
这步是弱点
       = int_0^infinity S(u) du ///

几何意义是非常清楚的:
1. 先画一个xy坐标轴
2. 再画一个y=F(x)曲线,起始于(0,0),单调递增,渐进于y=1直线
3. 目标量是一个无穷曲边三角形的面积:y=F(x)之上,y=1直线之下,y坐标轴之右。
4. 量 a F(a) - int_0^a F(u) du 是一个有穷曲边三角形的面积:y=F(x)之上,y=F(a
)直线之下。当a->infinity时这个量趋近于目标量,这就是代数推导中的那步弱点。几
何意义是清楚的。
5. 量 a - a F(a) = a [ 1-F(a) ],这个量是一个小长方形的面积:y=1之下,y=F(a)
之上,x=0之右,x=a之左。


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 最后这步不好:要证明
: lim a - aF(a) = 0 as a -> infinity
: 我的思路本身就用到了结论。
: 这个证明画个图是很清楚的,各个量都能用图表示。我想给一个纯代数式的证明,还没
: 找到好的方法。
: 我再想想。
: (a



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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Jul  7 22:49:58 2018, 美东)

我最后再把这个弱点补上。
这一步证明属于数学分析中比较基础的,不简单但是很基础,也是很多书中用“很明显
”来一笔带过的内容。一笔带过也是有道理的,几何意义和代数形式上都呼之欲出,认
真要抠的话也一定抠得出来,所以就不费那个劲了,用“很明显”来一笔带过。

现在有两个极限:
(1) lim [ int_0^a (F(a)-F(u)) du ], a -> infinity
(2) int_0^infinity (1-F(u)) du = lim [ int_0^a (1-F(u)) du ], a -> infinity
要证明它们相等。

显然(1) <= (2),因为积分表达式中 F(a) < 1。
现在要证明 (2) <= (1)。标准方法,取一个序列 a1, a2, a3,...单调递增趋于无穷,
让这个序列实现(2)中的极限。
对于每一个an都可以找到一个bn (b1, b2, b3,...),这个b序列也是单增趋于无穷,让
这个b序列实现(1)中的极限,
而且,每一个bn代入(1)的积分都大于相应的an代入(2)的积分。这是可以做到的,因为
F(u)是单增趋近于1的函数。
对于一个an,可以找一个很大很大的bn,使得F(bn)非常接近于1,从而弥补积分表达式
小的不足。///


【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 我先这样推,留一个弱点,我们再思考:
: E(T) = int_0^infinity u f(u) du, 定义
:        = lim int_0^a u f(u) du, a -> infinity,improper integral 定义
:        = lim [ a F(a) - int_0^a F(u) du ], a -> infinity, 分部积分法
:        = lim [ int_0^a ( F(a) - F(u) ) du ], a -> infinity
:        = int_0^infinity ( 1 - F(u) ) du, infinity进入积分上限和积分表达式,
: 这步是弱点
:        = int_0^infinity S(u) du ///
: 几何意义是非常清楚的:
: 1. 先画一个xy坐标轴
: ...................



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Bremen
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发信人: Bremen (獨孤求坑), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jul  9 01:09:23 2018, 美东)

這個問題我會用Fubini 定理證明(積分裡都是正的 所以可以交換 不用管是不是會積分
出無窮大) 這樣可以避免掉很多繁雜的過程
int_0^{infty}S(t)dt=int_0^{infty}(int_t^{\infty}f(x)dx)dt 然後積分交換一下就
出來
了 (積分範圍是個三角形)




【 在 didadida (滴滴嗒嗒) 的大作中提到: 】
: 如图
: 从duration analysis教材抠下来的
: 其中 小f函数是概率密度,大F是累计分布,
: survivor 大S是1-F
: 倒数第三段那个长公式没问题
: 倒数第二段没问题
: 然后 it follows that
: E(T)= ...
: 这中间连不上
: 请指教




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※ 修改:·Bremen 於 Jul  9 01:11:27 2018 修改本文·[FROM: 140.]
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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jul  9 09:51:10 2018, 美东)

这个好。这种三角区域积分换序的方法很常见,每次看见都觉得很巧妙。

【 在 Bremen (獨孤求坑) 的大作中提到: 】
: 這個問題我會用Fubini 定理證明(積分裡都是正的 所以可以交換 不用管是不是會積分
: 出無窮大) 這樣可以避免掉很多繁雜的過程
: int_0^{infty}S(t)dt=int_0^{infty}(int_t^{infty}f(x)dx)dt 然後積分交換一下就
: 出來
: 了 (積分範圍是個三角形)




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发信人: TheMatrix (TheMatrix), 信区: Mathematics
标  题: Re: 有关“寿命”的数学期望
发信站: BBS 未名空间站 (Mon Jul  9 10:36:52 2018, 美东)

这种方法引入了一个新的参数,把原问题在扩展了的参数空间中考虑。有点像平面几何
中画一条辅助线。这都是很巧妙的。

【 在 Bremen (獨孤求坑) 的大作中提到: 】
: 這個問題我會用Fubini 定理證明(積分裡都是正的 所以可以交換 不用管是不是會積分
: 出無窮大) 這樣可以避免掉很多繁雜的過程
: int_0^{infty}S(t)dt=int_0^{infty}(int_t^{infty}f(x)dx)dt 然後積分交換一下就
: 出來
: 了 (積分範圍是個三角形)




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